J'ai eu ce problème sur ma E36. La fameuse pompe n'est pas une pompe de gavage (je sais que noël c'est bienôt, mais laissez les oies tranquilles...) mais une pompe de mise à niveau du second réservoir.
Comme vous le savez tous, le réservoir de gazoul est "traversé" par l'arbre de transmission, ce qui a pour effet de créer "2" réservoirs reliés par la partie haute. Lorsque l'on roule, le gazoul passe de l'un à l'autre lorsque le niveau est haut ou si l'on prend des virages.
Lorsque le niveau est bas, il faudrait de temps en temps prendre des virage "serrés" à droite, de manière à faire passer le gazoul de la droite à la gauche, puisque c'est à gauche que l'aspiration se fait (de mémoire, mais ca marche aussi à gauche si l'aspi est à droite

).
Cela étant souvent incompatible avec la rectiditude de la route

les techniciens de BMW ont placé une pompe dans la partie droite du réservoir pour envoyer le gazoul dans la partie gauche du dit réservoir... et ainsi ne pas manquer du bon gazoul (ils sont malins les techniciens de chez BMW).
Si cette pompe ne fonctionne plus, la partie droite du réservoir contient plein de bon gazoul donc la jauge marque " Y a du gazoul !" mais à gauche y a rien... sinon de l'air. Et comme vous le savez, l'air est un mauvais carburant donc la voiture démarre mal.
Voilà, j'espère que je n'ai pas été trop long

j'ai fait au plus simlple
Ah si la pompe n'est pas donnée... je me rappelle plus le prix. Pour vérifier son fonctionnement ouvrir le bouchon gauche du réservoir (dans le coffre) mettre le contact et regarder si ca pisse (dru, comme le beaujolais*)
* : l'abus d'alcool est dangereux pour les points de votre permis.
A bientôt